线下辅导教案

1 整体思路

1.1 本门课程重点

• 最根本问题：信号通过系统，求解响应信号.

• 最主要对象：线性时不变系统 (LTI 系统，LTIS).

• 最重要目的：求解微分方程与差分方程.

1.2 连续 LTI 系统

连续 LTI 系统（CLTIS）：等效为求解微分方程（或积分方程）

• 第二章：时域分析

  • 经典时域法：零输入响应 + 零状态响应（可细分多种思路）

  • 卷积积分法：传输算子、卷积积分

• 第三章：频域分析

  • 傅里叶级数：展开成易于求解响应的三角级数或指数级数，最后求和.（相量法）

  • 傅里叶变换：时域 $\to$$\ra$ 频域 $\to$$\ra$ 时域.

  • 卷积积分法：与第二章不同，可以利用频域求解卷积积分.

  • 系统函数法：主要用于求解多个系统的级联、并联与反馈联结.

• 第四章：复频域分析

  • 拉氏变换法：时域 $\to$$\ra$ 复频域 $\to$$\ra$ 时域.

  • 卷积积分法：与第二章不同，可以利用复频域求解卷积积分.

  • 系统函数法：主要用于求解多个系统的级联、并联与反馈联结.

1.3 离散 LTI 系统

离散 LTI 系统（DLTIS）：等效为求解差分方程（或求和方程）

• 高中用的初等方法

  • 数值迭代法：适用于计算机求解，或手算前几项. 无法求出通项公式.

  • 数学归纳法：通过数值迭代，猜出通项公式，然后用数学归纳法证明.

  • 数列配凑法：配凑成等差数列或等比数列的形式，从而一步一步求解.

• 更便捷的初等方法

  • 生成函数法：利用递推公式、母函数、幂级数展开.

  • 特征方程法：适用于齐次方程，求通解.

  • 常数变易法：适用于非齐次方程，求特解.

• 直接利用显式公式

  • 二项齐次递推式

  • 三项齐次递推式

• 第五章：时域分析

  • 经典时域法：零输入响应 + 零状态响应.

  • 卷积求和法：单位样值响应、卷积和.

• 第六章： z 域分析

  • z 变换法：时域 $\to$$\ra$ z 域 $\to$$\ra$ 时域.

  • 卷积和法：与第五章不同，可以利用 z 域求解卷积和.

  • 系统函数：主要用于求解多个系统的级联、并联与反馈联结.

1.4 其它相关说明

以上只是主线问题，这门课还需要学习其它相关知识，如系统的分类、冲激函数的性质、卷积的性质、常用的卷积、傅里叶变换的性质、常用的傅里叶变换、频率谱线、抽样定理、无失真系统、低通滤波器、系统的因果性与稳定性等等，具体请见 2 重点内容、3 知识专题、信号与系统 (1)、信号与系统 (2).

这里想指出，离散和连续并不是毫不相关的：

• 实际应用中的相互转换

  • 连续信号采样后为离散信号.

  • 离散信号可恢复为连续信号.

• 理论分析中的相互转换

  • 连续信号可用离散信号近似，从而使用离散信号的方式处理（如数值分析，计算机迭代）

  • 离散信号可表示为连续信号，从而使用连续信号的方法分析（如傅氏变换、拉氏变换）

• 本影演算中的相互转换

  • $\mathrm{\Delta }f(x)={\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n!}}\frac{{\mathrm{d}}^{n}f(x)}{\mathrm{d}{x}^n}}$$\Delta f(x) = \nsum \dfrac{1}{n!} \dv[n]{f(x)}{x}$.

  • ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}={\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+1}}{\mathrm{\Delta }}^{n+1}f(x)}}$$\ddv{f(x)}{x} = \nosum \dfrac{(-1)^n}{n+1} \Delta^{n+1} f(x)$.

1.5 相关书籍推荐

• 信号与系统教材

  • 季策、蒋定德、宋清阳、于尧的《信号与线性系统分析》

  • 郑君里、应启珩、杨为理的《信号与系统》

  • 奥本海姆的《信号与系统》

• 复变函数教材

  • 特里斯坦·尼达姆的《可视化复分析》

  • Lars Ahlfors 的《复分析》

  • 东大的《复变函数与积分变换》

• 傅里叶分析

  • SMM Fourier Series In Control Theory (Komornik V Loreti P 2005)(Isbn 0387223835)(229S).pdf

  • (GTM64)Fourier Series A Modern Introduction Volume 1.pdf

  • (GTM85)Fourier Series A Modern Introduction Volume 2.pdf

  • (GTM186)Fourier Analysis on Number Fields.pdf

  • (GTM223)Fourier Analysis and Its Applications.pdf

  • (GTM249)Classical Fourier Analysis.pdf

  • (GTM250)Modern Fourier Analysis.pdf

• 拉普拉斯变换： UTM Schiff J L Laplace Transformation Theory And Applications (1999)(245S).pdf

• 差分方程

  • 差分方程及其应用.pdf

  • 差分方程中的Lagrange定理.刘培杰.pdf

2 重点内容

以下只列出比较重要的内容，其余可看书了解即可；拓展内容这里略过.

这里的 "重要程度" 包含了需要掌握的程度，因此标的星数少也可能非常重要（比如系统函数），只是容易掌握.（可能也比较主观）

2.1 信号与线性系统

2.2 连续的时域分析

2.3 连续的频域分析

2.4 连续复频域分析

2.5 离散的时域分析

2.6 离散的 z 域分析

3 知识专题

3.1 连续的时域分析

3.1.1 冲激函数的性质

3.1.2 卷积积分的求解

3.1.3 常用的卷积积分

3.1.4 零状态与零输入

3.2 连续的频域分析

3.2.1 傅氏变换的性质

3.2.2 常用的傅氏变换

3.2.3 系统傅里叶分析

3.2.4 时域的抽样定理

3.3 连续复频域分析

3.3.1 拉氏变换的性质

3.3.2 常用的拉氏变换

3.3.3 系统复频域分析

3.3.4 系统稳定性判断

3.4 离散的时域分析

3.4.1 离散信号与系统

3.4.2 零状态与零输入

3.4.3 单位的样值响应

3.4.4 离散序列卷积和

3.5 离散的 z 域分析

3.5.1 常用的 z 变换

3.5.2 z 变换的性质

3.5.3 z 逆变换求解

3.5.4 z 域分析求解